Model Predictive Control

📖 1. 概述

MPC（Model Predictive Control，模型预测控制）是一种滚动优化的控制方法。其核心思想是：在每个控制时刻，基于系统模型预测未来一段时间内的系统行为，求解一个有限时域优化问题，只实施第一个控制动作，然后在下一时刻重新优化。

MPC 控制循环架构

🔧 2. 问题建模

2.1 MPC 优化问题

MPC 在每个时刻 \(t_k\) 求解以下有限时域最优控制问题：

约束条件：

2.2 预测时域与控制时域

预测时域滚动优化示意图

典型代价函数形式

📝 3. 公式推导

3.1 线性 MPC 推导

考虑线性时不变系统：

Step 1: 将优化问题转化为 QP

定义决策变量 \(\mathbf{u} = [u_0^T, u_1^T, ..., u_{N-1}^T]^T\)，将预测状态表示为 \(\mathbf{u}\) 的函数：

Step 2: 构造矩阵形式

定义预测矩阵：

其中：

Step 3: 代价函数的 QP 形式

对于二次代价：

定义：

代入预测方程 \(\mathbf{x} = \mathcal{A}x_0 + \mathcal{B}\mathbf{u}\)：

其中：

约束条件转化为 \(\mathbf{A}_{ineq} \mathbf{u} \leq \mathbf{b}_{ineq}\)。

Step 4: 求解 QP

在每个采样时刻，测量当前状态 \(x(t_k)\)，求解：

取第一个最优控制动作 \(u^*_0\) 施加到系统。

QP 构造流程图

3.2 非线性 MPC (NMPC) 推导

对于非线性系统 \(\dot{x} = f(x, u)\)（连续）或 \(x_{k+1} = f(x_k, u_k)\)（离散）：

连续时间 NMPC

约束：

离散时间 NMPC

约束：

求解方法

⚖️ 4. 连续时间与离散时间处理

零阶保持器 (ZOH) 离散化

对于线性系统 \(\dot{x} = Ax + Bu\)，采样周期 \(T_s\)：

离散化方法对比

⚙️ 5. 求解算法

5.1 QP 求解器

线性 MPC 的核心是求解带约束的二次规划问题：

常用 QP 求解器

5.2 线性 MPC Python 实现

import numpy as np
import cvxpy as cp

def mpc_solve(A, B, Q, R, P, x0, N, x_min, x_max, u_min, u_max, x_ref=None):
    """
    线性 MPC 求解器
    A, B: 系统矩阵
    Q, R, P: 代价权重（阶段/终端）
    x0: 当前状态
    N: 预测时域
    x_min, x_max, u_min, u_max: 约束
    x_ref: 参考轨迹（可选）
    """
    n, m = B.shape
    # 决策变量
    x = cp.Variable((n, N+1))
    u = cp.Variable((m, N))

    # 参考
    if x_ref is None:
        x_ref = np.zeros(n)

    # 代价函数
    cost = 0
    for i in range(N):
        cost += cp.quad_form(x[:, i] - x_ref, Q)
        cost += cp.quad_form(u[:, i], R)
    cost += cp.quad_form(x[:, N] - x_ref, P)

    # 约束
    constraints = [x[:, 0] == x0]
    for i in range(N):
        constraints += [x[:, i+1] == A @ x[:, i] + B @ u[:, i]]
        constraints += [x[:, i] >= x_min, x[:, i] <= x_max]
        constraints += [u[:, i] >= u_min, u[:, i] <= u_max]
    constraints += [x[:, N] >= x_min, x[:, N] <= x_max]

    # 求解
    prob = cp.Problem(cp.Minimize(cost), constraints)
    prob.solve(solver=cp.OSQP)

    return u.value[:, 0], x.value, u.value

5.3 热启动 (Warm Start)

MPC 的一个关键优势：相邻时刻的优化问题高度相似，可利用上一步解加速求解。

热启动 vs 冷启动对比

🛠️ 6. 约束处理

6.1 约束类型

6.2 约束在 QP 中的表示

输入约束

状态约束（通过预测矩阵转化）

输入变化率约束

其中 \(u_{-1} = u(t_k - 1)\) 是上一时刻实际施加的控制量。

6.3 软约束

对于硬约束不可行的情况，引入松弛变量将其转化为软约束：

在代价函数中添加惩罚项 \(\rho \|\epsilon\|^2\)，保证问题始终可行。

约束类型可视化

🎯 7. 稳定性分析

7.1 无限时域 MPC 的稳定性

若预测时域 \(N \to \infty\)，MPC 退化为 LQR，自然稳定。但有限时域 MPC 的稳定性需要额外保证。

7.2 保证稳定性的方法

7.3 稳定性定理

Lyapunov 函数单调下降示意

🔥 8. MPC 变体

8.1 稳态 MPC (Steady-State MPC)

在标准 MPC 中添加对稳态偏差的惩罚，确保闭环收敛到期望稳态：

其中 \((x_s, u_s)\) 是通过在线优化得到的期望稳态。

8.2 鲁棒 MPC (Robust MPC)

考虑模型不确定性和扰动：

Min-Max MPC：最坏情况优化：

8.3 随机 MPC (Stochastic MPC)

用概率约束替代确定性约束：

8.4 显式 MPC (Explicit MPC)

离线求解参数化 QP，在线查表获得控制律：

将状态空间划分为多面体区域 \(\mathcal{R}_i\)，每个区域对应一个仿射控制律。

8.5 约束线性化 MPC (C-LMPC)

在学习控制中，利用迭代学习逐步优化：

其中 \(l_k\) 是学习到的修正项，\(\gamma \in (0, 1]\) 是学习率。

8.6 参数化 MPC

将控制输入参数化为基函数的线性组合：

决策变量从 \(N\) 维降至 \(n_p\) 维（\(n_p \ll N\)）。

MPC 变体特性对比

🚀 9. 应用场景

import numpy as np
import cvxpy as cp

# 自行车模型参数
dt = 0.1  # 采样周期
Vx = 15.0  # 车速

A = np.array([
    [1, dt, 0, 0],
    [0, 1, Vx*dt, 0],
    [0, 0, 1, dt],
    [0, 0, 0, 1]
])
B = np.array([
    [0],
    [0],
    [0],
    [Vx*dt]
])

n, m = B.shape
N = 20  # 预测时域

# 权重
Q = np.diag([100, 10, 100, 10])
R = np.diag([1.0])
P = Q  # 终端代价

# 约束
u_max = np.deg2rad(35)  # 最大转向角
x_min = np.array([-2, -1, -np.deg2rad(10), -1])
x_max = np.array([2, 1, np.deg2rad(10), 1])

# 当前状态
x0 = np.array([0.5, 0, np.deg2rad(3), 0])

# 求解 MPC
u_opt, x_pred, _ = mpc_solve(A, B, Q, R, P, x0, N, x_min, x_max, -u_max, u_max)
print(f"最优控制输入: {np.rad2deg(u_opt):.2f} deg")

# 无人机简化动力学
A = np.block([
    [np.eye(3), dt*np.eye(3)],
    [np.zeros((3,3)), np.eye(3)]
])
B = np.block([
    [0.5*dt**2*np.eye(3)],
    [dt*np.eye(3)]
])

# 权重
Q = np.diag([100, 100, 100, 10, 10, 10])  # 位置误差权重高
R = np.diag([1, 1, 1])  # 力输入代价

# 约束
u_min = np.array([0, 0, 0.5])  # 最小推力（需克服重力）
u_max = np.array([10, 10, 20])  # 最大推力

典型应用系统架构

📊 10. MPC vs LQR 对比

决策流程图

MPC vs LQR 控制结构对比

🏗️ 11. 调参指南

11.1 核心参数

11.2 调参流程

11.3 Python 调参示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 质量-弹簧-阻尼系统
m, b, k = 1.0, 0.1, 1.0
dt = 0.1
A = np.array([[1, dt], [-k*dt/m, 1-b*dt/m]])
B = np.array([[0], [dt/m]])

def mpc_response(Q_diag, R_val, N, x0, T):
    n, m = B.shape
    Q = np.diag(Q_diag)
    R = np.array([[R_val]])
    P = Q
    x_min, x_max = np.array([-5, -5]), np.array([5, 5])
    u_min, u_max = np.array([-2]), np.array([2])

    steps = int(T / dt)
    x_history = np.zeros((n, steps))
    x_history[:, 0] = x0

    for i in range(1, steps):
        u, _, _ = mpc_solve(A, B, Q, R, P, x_history[:, i-1], N, x_min, x_max, u_min, u_max)
        x_history[:, i] = A @ x_history[:, i-1] + B.flatten() * u
    return x_history

# 不同参数对比
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 8))
configs = [
    ({"Q_diag": [10, 1], "R_val": 0.1, "N": 5, "label": "N=5, R=0.1"}),
    ({"Q_diag": [10, 1], "R_val": 0.1, "N": 20, "label": "N=20, R=0.1"}),
    ({"Q_diag": [10, 1], "R_val": 1.0, "N": 20, "label": "N=20, R=1.0"}),
    ({"Q_diag": [100, 10], "R_val": 0.1, "N": 20, "label": "N=20, Q=10*Q"}),
]

for ax, cfg in zip(axes.flat, configs):
    x = mpc_response(cfg["Q_diag"], cfg["R_val"], cfg["N"], np.array([2, 0]), 10)
    t = np.arange(0, 10, dt)
    ax.plot(t, x[0], label='Position')
    ax.set_title(cfg["label"])
    ax.legend(); ax.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.savefig('mpc_tuning.png', dpi=150)
plt.show()

参数影响关系图

❓ 12. 常见问题

12.1 MPC 不可行怎么办？

12.2 MPC 计算太慢？

12.3 如何选择预测时域？

预测时域的选择需要权衡多个因素：

12.4 MPC 与 PID 的关系？

MPC 可以看作多变量 PID 的扩展：

• PID 只利用当前误差，MPC 利用未来预测
• PID 难以处理约束，MPC 显式处理
• PID 是单回路，MPC 天然处理多变量耦合
• 在某些情况下，MPC 的稳态行为接近 PID

12.5 终端代价和终端约束哪个更重要？

📚 13. 参考文献

1. Garcia, C. E., Prett, D. M., & Morari, M. (1989). Model predictive control: theory and practice—a survey. Automatica, 25(3), 335-348.
2. Rawlings, J. B., Mayne, D. Q., & Diehl, M. (2017). Model Predictive Control: Theory, Computation, and Design. Nob Hill Publishing.
3. Bemporad, A., & Morari, M. (1999). Robust model predictive control: A survey. Robustness in identification and control, 207-226.
4. Camacho, E. F., & Bordons, C. (2013). Model Predictive Control (2nd ed.). Springer.
5. Morari, M., & Lee, J. H. (1999). Model predictive control: past, present and future. Computers & Chemical Engineering, 23(4-5), 667-682.